Universidad de Guadalajara
Escuela Preparatoria Regional de Ameca
Alumno: Luis Gabriel Mayoral Rosas.
Semestre, grupo y turno: 2°B turno matutino.
Materia: Matemática y vida cotidiana II.
Maestro: Manuel Alberto Rosas Verdín
Tema: El teorema de Fibonacci
Módulo: 1
El teorema de Fibonacci
Objetivo:
El objetivo de esta investigación es que conozcamos todo lo posible acerca del teorema de Fibonacci, su forma de representarlo y la historia de este mismo. Esto además es de nuestro interés porque es una sucesión muy curiosa y llamativa por la forma en que funciona. Este teorema resulta de suma importancia en el estudio de éste módulo de Matemática y vida cotidiana II por lo que es muy importante comprenderlo lo mejor posible y por medio de esta investigación que no es muy extensa pero que contiene información muy importante se facilitará el entendimiento de esta interesante sucesión.
Introducción:
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
La sucesión inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos.
La sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, debido a su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados, pero sobre todo, porque el más novel de los aficionados en teoría de números, aun con conocimientos poco más allá de aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber variedad inagotable.
El interés por esta sucesión (y por las llamadas sucesiones generalizadas de Fibonacci, que son las formadas a partir de dos enteros positivos cualesquiera y, a partir de ahí, cada término es la suma de los dos anteriores) se ha avivado recientemente pues tiene aplicación en clasificación de datos, generación de números aleatorios...
Justificación:
Decidí hacer mi investigación documental sobre este tema porque me resultó muy interesante y además es uno de los más importantes de la materia de Matemática y vida cotidiana II que actualmente estamos cursando, por lo que siento que al hacer este trabajo voy a conocer mejor todo lo relacionado con el teorema de Fibonacci, ya que pues si resulta algo enredoso al principio, pero después de terminar esta investigación y de haber indagado por mucha información se que comprenderé muy bien este tema sin problema alguno.
Historia:
Antes de que Fibonacci escribiera su trabajo, la sucesión de los números de Fibonacci había sido descubierta por matemáticos indios tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150), quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era fn + 1, que produce explícitamente los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.
También Kepler describió los números de Fibonacci, y el matemático escocés Robert Simson descubrió en 1753 que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn + 1 / fn se acerca a la relación áurea cuanto más se acerque a infinito; es más: el cociente de dos términos sucesivos de toda sucesión recurrente de orden dos tiende al mismo límite.
Propiedades de la sucesión:
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas.
- La razón o cociente entre un término y el inmediatamente anterior varía continuamente, pero se estabiliza en el número áureo.
Este límite no es privativo de la Sucesión de Fibonacci. Cualquier sucesión recurrente de orden 2, como la sucesión 3, 4, 7, 11, 18,..., lleva al mismo límite. Esto fue demostrado por Barr y Schooling en una carta publicada en la revista londinense "The Field" del 14 de diciembre de 1912. Los cocientes son oscilantes; es decir, que un cociente es menor al límite y el siguiente es mayor. Los cocientes pueden ordenarse en dos sucesiones que se aproximan asintóticamente por exceso y por defecto al valor límite.
- Cualquier número natural se puede escribir mediante la suma de un número limitado de términos de la sucesión de Fibonacci, cada uno de ellos distinto a los demás. Por ejemplo, 17 = 13 + 3 + 1, 65 = 55 + 8 + 2.
- Tan sólo un término de cada tres es par, uno de cada cuatro es múltiplo de 3, uno de cada cinco es múltiplo de 5, etc. Esto se puede generalizar, de forma que la sucesión de Fibonacci es periódica en las congruencias módulo m, para cualquier m.
- La sucesión puede expresarse mediante otra fórmula explícita llamada forma de Binet
- Cada número de Fibonacci es el promedio del término que se encuentra dos posiciones antes y el término que se encuentra una posición después.
- Lo anterior también puede expresarse así: calcular el siguiente número a uno dado es 2 veces éste número menos el número 2 posiciones más atrás:fn + 1 = fn * 2 − fn − 2
- La suma de los n primeros números es igual al número que ocupa la posición n + 2 menos uno.
- El máximo común divisor de dos números de Fibonacci es otro número de Fibonacci. Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal.
Si fp = a, tal que a es un número primo, entonces p también es un número primo, con una única excepción, f4 = 3; 3 es un número primo, pero 4 no lo es.
- La suma infinita de los términos de la sucesión es exactamente .
- La suma de diez números Fibonacci consecutivos es siempre 11 veces superior al séptimo número de la serie.
- El último dígito de cada número se repite periódicamente cada 60 números. Los dos últimos, cada 300; a partir de ahí, se repiten cada números.
La sucesión de Fibonacci en la naturaleza:
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.
El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo La Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.
En el cuerpo humano podemos decir que la cabeza es 1, el cuello, 1, los brazos (2), brazo, antebrazo y mano (3), luego los cinco dedos (5), es decir, la sucesión de Fibonacci hasta el 5.
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci en la Cultura Popular:
En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el conservador del museo del Louvre, Jacques Saunière. Otros ejemplos de estos son:
- En el álbum Lateralus de la banda estadounidense Tool, los patrones de la batería (Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
- En la miniserie Abducidos, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la hibrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368. Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13, 55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
- En el filme de Darren Aronofsky π el orden del caos el judío Rabbi Cohen presenta la teoría en hebreo transcrito en números en la cual el personaje Max Cohen relaciona esta última teoría con la secuencia de Fibonacci llegando en conclusión que todo está basado en la ley del orden y el caos.
- En un lateral de la cúpula de la antigua sinagoga ahora convertida en el Museo Nazionale del Cinema, más conocida como Mole Antonelliana, en Torino (Italia), se puede observar una instalación luminosa de la sucesión de números de Fibonacci.
- El Dr. Walter Bishop de la serie de televisón Fringe usa numeros de la serie de Fibonacci para las contraseñas de sus cajas de seguridad.
La razón aúrea en la Sucesión de Fibonacci:
Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Y es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro. Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.
Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cálculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.
Conclusión:
En la sucesión de Fibonacci cada número se calcula sumando los dos números anteriores a él
- El 2 se calcula sumando (1+1)
- Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
- Y el 5 es (2+3),
- ¡y sigue!
La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" la regla es:
xn = xn-1 + xn-2
Donde:
- xn es el término en posición "n"
- xn-1 es el término anterior (n-1)
- xn-2 es el anterior a ese (n-2)
Resumen:
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".[]
De esta manera Fibonacci presentó la sucesión en su libro Liber Abaci, publicado en 1202. Muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci fueron descubiertas por Édouard Lucas, responsable de haberla denominado como se la conoce en la actualidad.
Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes. De hecho, existe una publicación especializada llamada Fibonacci Quarterly[ ]dedicada al estudio de la sucesión de Fibonacci y temas afines. Se trata de un tributo a cuán ampliamente los números de Fibonacci aparecen en matemáticas y sus aplicaciones en otras áreas.
Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación.
La gran mayoría de los árboles parecen crecer siguiendo la sucesión de fibonacci: El tronco (1) se divide en una rama grande (1), esta rama se divide en dos (2), luego, cada una de ellas se divide en 3 (3) ramas más pequeñas, y así sucesivamente.
Opinión:
Para mí, este tema resultó muy interesante desde el momento en que lo vi, sobre todo porque se me hizo muy interesante por el problema de la cría de conejos que fue con el problema que comenzamos el tema de la Sucesión de Fibonacci. Después me resultó más interesante cuando supe que esta sucesión se presentaba en muchos casos de la naturaleza, como en los árboles, los girasoles y hasta en los humanos. Además, en la información que encontré, hallé un dato que me impresiono mucho, porque dice que la sucesión de Fibonacci se presenta hasta en el sistema solar, aunque solo se presenta hasta el número 5 de la sucesión. Esta sucesión es muy simple de continuar ya que para obtener un número se suman los dos números anteriores y el resultado es el que sigue. No hay duda de que Fibonacci creó una sucesión muy curiosa y asombrosa que se manifiesta en muchas cosas del universo y que en realidad él solo la hizo para calcular el número de conejos que nacían en una granja. A mí me gustó mucho este tema.
Referencias bibliográficas:
http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Otros/31-2-o-fibo3.html
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html
http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3608
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